分數運算

讀者來信:

我昨天在想一個問題
1/2+1/3
1/2-1/3
1/2*1/3
1/2除以1/3
假設我要教一個不會加減乘除的人
前面三個我都可以用蛋糕舉例
可是第四個我要怎麼解釋
我只記得小時候是用背的--->就是遇到這種情形要變成1/2*3
可是為什麼要這樣算
我就不知道了
反正背就對了
所以請數理教育學系畢業的妳教教我吧
為什麼會想這個問題呢
因為我聽了李家同的演講
他說有學生在國中畢業後還是會說1/2+1/3的答案等於2/5!!
然後我才驚覺如果我不能舉例教人
其實我的四則運算應該也是有問題的

還有美國小學生要不要背九九乘法表啊??

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親愛的小豬讀者:

謝謝您的來信詢問。今日陽光普照, 雲淡風清, 小妹不才我難得偷得浮生半日閒, 決定公開回答您的問題。我深信這是一篇很無聊的文章, 純粹只是用來證明我讀過數理教育。

什麼叫做除法? 先用整數作例子。8 除以2是什麼意思?

有兩種具像思考的方法:

[思考一] 阿貝有8塊蛋糕, 分成兩天吃, 每天都要吃一樣數量, 一天要吃幾塊蛋糕?

[思考二] 阿貝買了8塊蛋糕, 一個盒子只能裝兩塊蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿8塊蛋糕?


當被除數是分數, 除數是整數時。1/8 除以2 是什麼意思?

[思考一] 阿貝有1/8塊蛋糕, 分成兩天吃, 每天都要吃一樣數量, 一天要吃幾塊蛋糕?

[思考二] 阿貝買了1/8顆蛋糕, 一個盒子能裝兩個蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿1/8個蛋糕?

[註] 數學上, 答案是1/16個盒子。但現實生活裡, 答案是1個盒子。



當被除數是分數, 除數也是分數時, 而且被除數大於除數時, 試試看用第二種思考法。1/2 除以1/8 是什麼意思?

[思考二] 阿貝買了1/2顆蛋糕, 一個盒子只能裝1/8蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿1/2個蛋糕?



你說, 那如果, 當被除數是分數, 除數也是分數時, 但是被除數小於除數時, 還是可以用第二種思考法去想。 1/8 除以1/2 是什麼意思?

[思考二] 阿貝買了1/8顆蛋糕, 一個盒子能裝1/2蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿1/8個蛋糕?


當我們可以抽象思考後, 擺脫蛋糕的概念, 除法就是在問”用除數作一個單位, 有幾個單位在被除數裡?”

8除以2 -- 以2為1單位(unit), 有幾個單位(unit)在8裡? 答案: 4個單位

2除以8 -- 以8為1單位, 有幾個單位在2裡? 答案: 1/4個單位

1/8除以2 -- 以2為單位, 有幾個單位在1/8裡? 答案: 1/16 個單位

1/8 除以1/2 -- 以1/2 為單位, 有幾個單位在1/8? 答案: 1/4 個單位


這樣, 理解了嗎?


我想, 這不只是貴國的的數理教育問題。就我個人經驗, 美國成人社會裡, 還是存在著很深的”分數恐懼症”。對很多人來說, 現實生活裡, 只有整數和小數的存在, 只要不是有心成為數學家或是工程師, 和分數運算過意不去實在只是自尋煩惱。

另外, 您來信的最後問道, 是否美國小孩也要背九九乘法。答案是肯定的。我認識一個很有名的統計學家, 他說, 他在小學四年級的時候還不會背九九乘法, 每天都被老師叫到角落面壁思過, 以示懲戒。 要不要背九九乘法, 一直以來, 在貴國的數裡教育界就是一個爭論不休的問題, 至今並無定論。若您要徵詢我的意見,我只能說,此乃貴國數理教育哲學概念裡眾多問題之一環, 日後, 待它日再度陽光普照, 雲淡風清之時, 再專闢一文詳加討論。


小樹敬上
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阿貝說話

慢啼的公雞 -- 小貝子, 這幾天開始說短短的句子。每個句子, 扣掉Mama , 都是三個字。

Where are you, Mama?

What is this, Mama?

HE (當然是大頭) HIT ME, Mama!!!

果然, 當年的預測是正確的。 要在大頭已經佔據四年的地盤上求得生存, 阿貝早早學會, 什麼叫做先聲奪人。

阿貝說的話不多, 但某些單字從他嘴裡說出來, 就是有些氣勢:

當他需要幫忙時, 他通常會拉著人, 一貫氣派的說, "COME!" 然後奮力拖著被命令者的手, 努力到達目的地後, 二話不說, 伸出食指, 一個光環瞬間從他指間躍出, 準確而用力地指向目標物, "THAT!" 。

前兩天, 我在唸書給阿貝聽, 大頭在一旁瞎鬧, 氣得阿貝大喊, "QUIET!" 大頭頓時也被這小公雞的氣勢震的退了三步。

有天, 正當大頭企圖偷喝阿貝晾在一旁的巧克力牛奶, 阿貝巨聲大喝, "OFF!" 只見大頭搥胸頓足, 放聲哭喊, 為什麼弟弟的東西都不分我吃/喝?

至於我最喜歡聽到的, 就是他不知道從哪裡學來, 滿滿台灣味的"三Q, Mama!"


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Just a film...

今天晚上, 本來是要起來洗衣服的。看了一則新聞, 姑狗了一下Google Chrome, 也不知道怎麼突然就發現Picasa 3有編輯影片的功能。用前幾天拍的照片, 作成一個小小的成品。忘了在影片上註明, 音樂曲目: 冬陽。(專輯名稱:櫻花雨, 風潮唱片出版)。



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花

第一次造訪蓮花池是2000年的夏天。那時, 用的還是膠捲相機, 每個鏡頭都要琢磨許久, 就怕景深 、曝光沒調好, 每個角度, 總是重複用不同的光圈和快門拍著, 只是希望, 十張照片裡, 有一張是成功的。2009的夏天, 用的是數位相機, 每拍完一張, 立刻從視窗裡看到成果。少了忐忑, 過程享受多了。

今天的照片裡, 最喜歡這一張。

如果後面的葉子沒進鏡頭就更乾淨了。

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難題

小的時候, 如果抱怨考試太多, 老師總是說, 等你長大, 你就會希望 ¸ 如果每一天只有考試, 那該有多好。現在, 我仍然討厭考試制度在某種程度上帶來的階級化, 因為我相信, 智力或學業成就不該是衡量一個人的唯一法碼; 可是, 我也漸漸能體會老師說的話 -- 如果, 人生的每個難題都可以用一枝筆、一張紙, 在一個小時裡解決, 那怕是每天都得做的事, 我也會天天樂意去做。

這兩年, 生活上面臨許多挑戰。看看旁邊的朋友, 其實, 每個人都有自己生命的難題, 陷在大大小小看似無解的困境裡。 有人用驕傲掩飾自己的脆弱, 有人用不在乎抵抗外在的壓力, 每個人都努力地用自己的方式與這些隨著年歲增長跟隨而來的難題搏鬥。

今晚, 難得沒有孩子在身邊。抽空去看了場電影。My Sister’s Keeper。 一個面臨許許多多難題的家庭, 每一個難題都是無解。 尤其是孩子、手足病重, 面臨死亡的難題。

到底, 和死神搏鬥是一種勇敢還是無謂的掙扎?

到底, 誰可以決定讓一個生命來拯救另一個生命?

到底 , 愛的界線在哪裡? 犧牲的界線在那裡?

身為一個母親, 我沒有答案。 身為手足之一, 我沒有答案。

走出電影院, 我想念兩隻猴子。也想念我的弟弟。 Read more...