分數運算

讀者來信:

我昨天在想一個問題
1/2+1/3
1/2-1/3
1/2*1/3
1/2除以1/3
假設我要教一個不會加減乘除的人
前面三個我都可以用蛋糕舉例
可是第四個我要怎麼解釋
我只記得小時候是用背的--->就是遇到這種情形要變成1/2*3
可是為什麼要這樣算
我就不知道了
反正背就對了
所以請數理教育學系畢業的妳教教我吧
為什麼會想這個問題呢
因為我聽了李家同的演講
他說有學生在國中畢業後還是會說1/2+1/3的答案等於2/5!!
然後我才驚覺如果我不能舉例教人
其實我的四則運算應該也是有問題的

還有美國小學生要不要背九九乘法表啊??

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親愛的小豬讀者:

謝謝您的來信詢問。今日陽光普照, 雲淡風清, 小妹不才我難得偷得浮生半日閒, 決定公開回答您的問題。我深信這是一篇很無聊的文章, 純粹只是用來證明我讀過數理教育。

什麼叫做除法? 先用整數作例子。8 除以2是什麼意思?

有兩種具像思考的方法:

[思考一] 阿貝有8塊蛋糕, 分成兩天吃, 每天都要吃一樣數量, 一天要吃幾塊蛋糕?

[思考二] 阿貝買了8塊蛋糕, 一個盒子只能裝兩塊蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿8塊蛋糕?


當被除數是分數, 除數是整數時。1/8 除以2 是什麼意思?

[思考一] 阿貝有1/8塊蛋糕, 分成兩天吃, 每天都要吃一樣數量, 一天要吃幾塊蛋糕?

[思考二] 阿貝買了1/8顆蛋糕, 一個盒子能裝兩個蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿1/8個蛋糕?

[註] 數學上, 答案是1/16個盒子。但現實生活裡, 答案是1個盒子。



當被除數是分數, 除數也是分數時, 而且被除數大於除數時, 試試看用第二種思考法。1/2 除以1/8 是什麼意思?

[思考二] 阿貝買了1/2顆蛋糕, 一個盒子只能裝1/8蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿1/2個蛋糕?



你說, 那如果, 當被除數是分數, 除數也是分數時, 但是被除數小於除數時, 還是可以用第二種思考法去想。 1/8 除以1/2 是什麼意思?

[思考二] 阿貝買了1/8顆蛋糕, 一個盒子能裝1/2蛋糕, 阿貝需要幾個盒子裝滿1/8個蛋糕?


當我們可以抽象思考後, 擺脫蛋糕的概念, 除法就是在問”用除數作一個單位, 有幾個單位在被除數裡?”

8除以2 -- 以2為1單位(unit), 有幾個單位(unit)在8裡? 答案: 4個單位

2除以8 -- 以8為1單位, 有幾個單位在2裡? 答案: 1/4個單位

1/8除以2 -- 以2為單位, 有幾個單位在1/8裡? 答案: 1/16 個單位

1/8 除以1/2 -- 以1/2 為單位, 有幾個單位在1/8? 答案: 1/4 個單位


這樣, 理解了嗎?


我想, 這不只是貴國的的數理教育問題。就我個人經驗, 美國成人社會裡, 還是存在著很深的”分數恐懼症”。對很多人來說, 現實生活裡, 只有整數和小數的存在, 只要不是有心成為數學家或是工程師, 和分數運算過意不去實在只是自尋煩惱。

另外, 您來信的最後問道, 是否美國小孩也要背九九乘法。答案是肯定的。我認識一個很有名的統計學家, 他說, 他在小學四年級的時候還不會背九九乘法, 每天都被老師叫到角落面壁思過, 以示懲戒。 要不要背九九乘法, 一直以來, 在貴國的數裡教育界就是一個爭論不休的問題, 至今並無定論。若您要徵詢我的意見,我只能說,此乃貴國數理教育哲學概念裡眾多問題之一環, 日後, 待它日再度陽光普照, 雲淡風清之時, 再專闢一文詳加討論。


小樹敬上